gokhan_a46@hotmail.com :: MaTeMaTiK HaKkInDa HeRşEy İçİn TIKLAYIN...

gokhan_a46@hotmail.com

MaTeMaTiK HaKkInDa HeRşEy İçİn TIKLAYIN...

Matematik Hakkında Herşey

Türev

Diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevi

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y=f(a) eğrisine (a,f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.

Konu başlıkları

[gizle]

1 Türev Alma

2 Örnekler
- 2.1 Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri
- 2.2 Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar

3 Temel Teoremler

4 Genellemeler

5 Türevin Uygulamaları

Türev Alma [değiştir]

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f’ sembolüyle gösterilir. Ayrıca

$\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$

formülü de bu durumu ifade etmek için kullanılır..

Örnekler [değiştir]

Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri [değiştir]

Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için $f (x) = x n$ fonksiyonu,

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Bu eşitlik Binom Teoremi‘nin bir sonucudur. (Bu formul yalnızca reel sayilarda kullanılır ! )

sin(x) ve cos(x) trigonometrik fonksiyonları,

$\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x) \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$

$e x$ fonksiyonu,

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar [değiştir]

Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0′da türevi tanımlayan

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}$

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

$\sqrt[3]{x}$ fonksiyonu da 0′da türevli olmayıp başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0′da türevlenebilir olmayışının nedeni

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0+h}-\sqrt[3]{0}}{h}$

limitinin $\infty$ , yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, $\sqrt[3]{x}$ fonksiyonunun grafiği 0′da da kırılmasızdır.

Temel Teoremler [değiştir]

Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

(f + g)’(a) = f’(a) + g’(a) (Toplam Kuralı),

(f - g)’(a) = f’(a) - g’(a) (Fark Kuralı),

Herhangi bir c reel sayısı için, (cf)’(a) = cf’(a),

(fg)’(a) = f’(a)g(a) + g’(a)f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),

(f o g)’(a) = f’(g(a)) x g’(a) (Zincir kuralı olarak bilinir).

(f/g)’(a) = [f’(a)g(a) - g’(a)f(a)]/g²(a) (Fark Kuralı),

Daha fazla bilgi için Türev alma kuralları maddesine bakınız.

Genellemeler [değiştir]

Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f’ , f fonksiyonunun türeviyse ve de f”, f’ fonksiyonunun türeviyse o zaman f” fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.

Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f Karmaşık Sayılar veya p-sel Sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (mesela gene karmaşık sayılar kümesi olabilir) alıyor olabilir.

Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür, ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu Kısmi Türev makalesinde bulunabilir.

Türevin Uygulamaları [değiştir]

f fonksiyonunun a noktasında türevi, f’nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.

Hesabın Temel Teoremi‘ne göre türev almakla integral almak, birbirlerinin tersi olan iki operasyondur.

Taylor Açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların deşerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.

Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin Diferensiyel Denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.

Matematiğin Diferensiyel Geometri ve Diferensiyel Topoloji alanları öncelikle türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla tarif edilebilen geometrik yapılarla ilgilenirler.

Add comment Aralık 25th, 2006

SürekLiLik

Kaynak : www.mydoom.org

İki topoloji uzayı arasındaki bir f fonksiyonunun, bir anlamda, “atlamasız” olma durumudur. Tek değişkenli reel fonksiyonlar için, “grafiğini el kaldırmadan çizebilme” şartının soyutlanmasıyla ulaşılmış bir kavramdır. Eğer f, A topolojik uzayından B topoljik uzayına tanımlı bir fonksiyonsa, f fonksiyonuna sürekli diyebilmemiz için B’nin her açık U altkümesinin ters imajının, yani f’nin A dan alıp U altkümesine gönderdiği elemanların kümesinin, açık küme olması şartı aranır. Eğer f birebir örten bir bir fonksiyonsa ve de $f$ ‘nin tersi $f - 1$ de sürekli bir fonksiyonsa, elimizde o zaman bir Topolojik uzay eşyapısı var demektir.

Add comment Aralık 25th, 2006

Limit

Kaynak : www.mydoom.org

Limit kelime Latince Limes ya da Limites ‘den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamdadır. Öklid ve Arşimet tarafından eğrisel kenarlara sahip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır. Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibniz‘in eserlerinde görülmüştür. Mesela, diferansiyel hesapta bir eğri (daire gibi) sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sahip bir çokgen olarak kabul edilir. Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pekçok fizik probleminin kolayca ele alınmasına sebep oluyor.

Matematiksel kullanımı [değiştir]

f(x) fonksiyonu bir açık aralıkta tanımlanmış olsun, ve L bir gerçel sayı olsun. Bütün $\varepsilon\ >0$ değerleri için, bir $\delta\ >0$ bulunabiliyor, öyle ki bütün $0<|x-a|< \delta\$ sağlayan $x$ için , $| f (x)-L|< \varepsilon\$ eşitsizliği doğru ise; L, f(x)’in a noktasındaki limitidir.

Bir fonksiyonun a’daki limiti (L):

$\lim_{x= \to a}f(x) = L$

şeklinde gösterilir.

Önemli limitler [değiştir]

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac {k}{x})^x = e^k$

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^\frac {k}{x} = e^k$

$\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)} {x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac {\tan(x)} {x} = 1$

Limit teoremleri [değiştir]

Eğer $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ ve $\lim_{x \to \infty} g(x) = b$ ise o zaman aşağidaki denklemler doğru:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) \pm g(x)) = a \pm b$

$\lim_{x \to \infty} (f(x) \sdot g(x)) = a \sdot b$

$\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {g(x)} = \frac {a} {b}$ , eğer $b \ne 0$ .

Eğer $|f(x)| \le |g(x)|$ ve $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$ , o zaman $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

Add comment Aralık 25th, 2006

Altın OrAn

Kaynak : www.mydoom.org

Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan özel bir orandır.Altın oran, doğada, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış,uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. Doğada en belirgin örneklerine insan vücudunda, deniz kabuklulularında ve ağaç dallarında rastlanır.Platon’a göre kozmik fiziğin anahtarı bu orandır. Altın oranı bir dikdörtgenin boyunun enine olan “en estetik” oranı olarak tanımlayanlar da vardır.

Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır. Göze çok hoş gelen bir orandır.

Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1.618; bu oranın değeri her ölçü için 1.618 dir.

Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran’a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB)oranına eşit olsun.

Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1.618033988749894… dür. (noktadan sonraki ilk 15 basamak). Bu oranın kısaca gösterimi: [1 + sqr(5)]/2 olur. sqr (5), beşin karekökünü göstermektedir.

Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani Φ ‘dir.

Konu başlıkları

[gizle]

1 Tarihçe

2 Fibonacci Sayıları ve Altın Oran

3 Altın Oran’ın Elde Edilmesi

4 Beş Kenarlı Simetri

5 Büyük Piramit ve Altın Oran

6 Dış bağlantılar

Tarihçe [değiştir]

Altın Oran, matematikte ve fiziksel evrende ezelden beri var olmasına rağmen, insanlar tarafından ne zaman keşfedildiğine ve kullanılmaya başlandığına dair kesin bir bilgi mevcut değildir. Tarih boyunca birçok defa yeniden keşfedilmiş olma olasılığı kuvvetlidir.

Euclid (M.Ö. 365 – M.Ö. 300), “Elementler” adlı tezinde, bir doğruyu 0.6180399… noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, bir doğruyu ekstrem ve önemli oranda bölmek diye adlandırmıştır. Mısırlılar keops Piramidi‘nin tasarımında hem pi hem de phi oranını kullanmışlardır. Yunanlılar, Parthenon‘un tüm tasarımını Altın Oran’a dayandırmışlardır. Bu oran, ünlü Yunanlı heykeltraş Phidias tarafından da kullanılmıştır. Leonardo Fibonacci adındaki İtalyan matematikçi, adıyla anılan nümerik serinin olağanüstü özelliklerini keşfetmiştir fakat bunun Altın Oran ile ilişkisini kavrayıp kavramadığı bilinmemektedir. Leonardo da Vinci, 1509′da Luca Pacioli‘nin yayımladığı İlahi Oran adlı bir çalışmasına resimler vermiştir. Bu kitapta Leonardo Leonardo da Vinci tarafından yapılmış Five Platonic Solids (Beş Platonik Cisim) adlı resimler bulunmaktadır. Bunlar, bir küp, bir Tetrahedron, bir Dodekahedron, bir Oktahedron ve bir Ikosahedronun resimleridir. Altın Oran’ın Latince karşılığını ilk kullanan muhtemelen Leonardo da Vinci ‘dir. Rönesans sanatçıları Altın Oran’ı tablolarında ve heykellerinde denge ve güzelliği elde etmek amacıyla sıklıkla kullanmışlardır. Örneğin Leonardo da Vinci, Son Yemek adlı tablosunda, İsa‘nın ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar Altın Oran’ı uygulamıştır. Güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler (1571-1630), Altın Oran’ı şu şekilde belirtmiştir: “Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras‘ın teoremi, diğeri, bir doğrunun Altın Oran’a göre bölünmesidir.” Bu oranı göstermek için, Parthenon’un mimarı ve bu oranı resmen kullandığı bilinen ilk kişi olan Phidias’a ithafen, 1900′lerde Yunan alfabesindeki Phi harfini Amerika‘lı matematikçi Mark Barr kullanmıştır. Aynı zamanda Yunan alfabesindekine karşılık gelen F harfi de, Fibonacci‘nin ilk harfidir.

Altın Oran, bir sayının insanlık, bilim ve sanat tarihinde oynadığı inanılmaz bir roldür. Phi, evren ve yaşamı anlama konusunda bizlere yeni kapılar açmaya devam etmektedir. 1970′lerde Roger Penrose, o güne kadar imkansız olduğu düşünülen, “yüzeylerin beşli simetri ile katlanması”nı Altın Oran sayesinde bulmuştur.

Bu oranın Altın Oran diye adlandırılması, daha derin güzellik anlayışlarına yeni kapılar açtığından dolayı belkide doğru bir karar olmuştur.

Fibonacci Sayıları ve Altın Oran [değiştir]

Fibonacci sayıları (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765… şeklinde devam eder) ile Altın Oran arasında ilginç bir ilişki vardır. Dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yaklaşır.

Fibonacci ardışıkları, Altın Oran ilişkisi yorumlamasıdır. Bir çok bitki filizlendiğinde, önce bir adet yaprak verir. Bir süre sonra bir yaprak daha açar, sonra iki tane daha… Sonra üç, beş, sekiz, onüç, yirmibir, otuzdört, vs. Pek çok bitki büyüme prensibi olarak kendisine Fibonacci ardışığını seçmiştir.

Yine birçok bitki, dallanma sırasında Fibonacci sayılarını izler:

Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar hiçbir yaprak alttakini kapatmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığını eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor.

Bir bitkinin sapındaki yapraklarında, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci sayıları bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.

Mesela, yandaki resminin üst kısmındaki dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık Fibonacci sayılarıdır.

Resmin alt kısımında yer alan dalı incelediğimizde ise 8 yaprak üstünden geçtiğimiz 5 tane saat yönünde dönüş yaparız. Saat yönünün ters istikametinde ise bu dönüş sayısı 3 olacaktır.

3, 5, 8 ise ardışık Fibonacci sayılarıdır. Ardışık Fibonacci sayılarının birbirine oranı altın orana yaklaştığından bahsetmiştik. Demek oluyor ki bitkinin yapraklarının bulunduğu yerlerde bile Altın Oran görülür.

Altın Oran’ın Elde Edilmesi [değiştir]

Altın Oran’ı anlatmanın en iyi yollarından biri, işe bir kare ile başlamaktır.

Bir kareyi tam ortasından iki eşit diktörgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim.

Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım. Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.

Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.

Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.

İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğunun (B) karenin taban uzunluğuna (A) oranı Altın Oran’dır. Karenin taban uzunluğunun (A) büyük dikdörtgenin taban uzunluğuna (C) oranı da Altın Oran’dır. A / B = 1.6180339 = Altın Oran C / A = 1.6180339 = Altın Oran

Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir Altın Dikdörtgen’dir. Çünkü kısa kenarının, uzun kenarına oranı 1.618 dir, yani Altın Oran’dır.

Artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir Altın Dikdörtgen olacaktır.

İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu Altın Dikdörtgen’in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir Altın Spiral elde ederiz. Altın Spiral, birçok canlı ve cansız varlığın biçimini ve yapı taşını oluşturur.Buna örnek olarak Ayçiçeği bitkisini gösterebiliriz. Ayçiçeğinin çekirdekleri altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler.

Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.

Beş Kenarlı Simetri [değiştir]

Phi‘yi göstermenin bir yolu da, basit bir beşgen kullanmaktır. Yani, birbiriyle beş eşit açı oluşturarak birleşen beş kenar. Basitçe Phi, herhangi bir köşegenin herhangi bir kenara oranıdır.

AC / AB = 1,618 = PHI Beşgenin içine ikinci bir köşegen ([BD]) çizelim. AC ve BD birbirlerini O noktasında keseceklerdir. Böylece her iki çizgi de, bir noktadan ikiye bölünmüş olacaktır ve her parça diğeriyle Phi oranı ilişkisi içindedir. Yani AO / OC =Phi, AC / AO = Phi, DO / OB = Phi, BD / DO = Phi. Bir diğeri ile bölünen her köşegende, aynı oran tekrarlanacaktır.

Bütün köşegenleri çizdiğimiz zaman ise, beş köşeli bir yıldız elde ederiz. Bu yıldızın içinde, ters duran diğer bir beşgen meydana gelir (yeşil). Her köşegen, başka iki köşegen tarafından kesilmiştir ve her bölüm, daha büyük bölümlerle ve bütünle, Phi oranını korur. Böylece, içteki ters beşgen, dıştaki beşgenle de Phi oranındadır.

Bir beşgenin içindeki beş köşeli yıldız, Pentagram diye adlandırılır ve Pythagoras‘ın kurduğu antik Yunan Matematik Okulu’nun sembolüdür. Eski gizemciler Phi‘yi bilirlerdi ve Altın Oran’ın fiziksel ve biyolojik dünyamızın kurulmasındaki önemli yerini anlamışlardı

Bir beşgenin köşegenlerini birleştirdiğimizde, iki değişik Altın Üçgen elde ederiz. Mavi üçgenin kenarları tabanı ile ve kırmızı üçgenin tabanı da kenarı ile Altın Oran ilişkisi içerisindedir.

Phi, kendini tekrarlayan bir özelliğe de sahiptir. Altın Orana sahip her şekil, Altın Oranı kendi içinde sonsuz sayıda tekrarlayabilir. Aşağıdaki şekilde, her beşgenin içinde meydana gelen pentagramı ve her pentagramın oluşturduğu beşgeni ve bunun makro kozmik ve mikro kozmik sonsuza kadar Altın Oranı tekrarlayarak devam ettiğini görebiliriz.

Beşgen, Altın Oranı açıklamak için oldukça basit ve iyi bir yöntem olmakla birlikte, bu oranın belirtilmesi gereken çok daha karmaşık ve anlaşılması zor bir takım özellikleri de vardır. Altın Oran daha iyi anlaşıldıkça, biyolojik ve kozmolojik birçok büyük uygulama örnekleri daha iyi görülebilecektir.

Büyük Piramit ve Altın Oran [değiştir]

Yandaki diagram, Altın Oran’ın bir çember yarıçapı üzerinde nasıl bulunabileceğini gösterir. Kenar uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan FCGO karesinin FC kenarının orta noktası olan T’den GO kenarının orta noktası olan A’ya dik çizilen bir çizgi ile ikiye bölünmesinden elde edilen TCAO dikdörtgeninin açıortayını (AC) bir ikizkenar üçgenin kenarlarından biri olarak kabul edip ABC üçgenini oluşturursak, üçgenin yüksekliğini 1 kabul ettiğimizde (ki bu dairenin yarıçapıdır) COB üçgeninin OB kenarı, Altın Oran olan 0.618034 olur.

Bir trigonometrik cetvelden baktığımızda, OCB açısının 31″43′ ve dolayısıyla OBC açısınında 58″17′ olduğunu buluruz. Yukarıdaki diyagram önemini korumak şartıyla bizi başka bir konstrüksiyona götürür ki, bu belki de Mısır‘lı rahiplerce çok daha önemli bulunmuş olabilir.

Yandaki diagramda, üçgenin dik açıya ortak kenarlarından biri yine yarıçapın 0.618034′üdür fakat bu defa 1′e yani yarıçapa eşit olan komşu kenar değil, hipotenüstür. Yine bir trigonometrik tablo yardımıyla, 0.618034′ün karşı açısının 38″10′ ve diğer açının da 51″50′ olduğunu görürüz. Pisagor Teoremini kullanarak, OD kenarının uzunluğunun da yarıçapın 0.78615′i olduğu görülür.

Bu konstrüksiyonda onu özel yapan iki önemli nokta vardır. Birincisi; ED kenarının uzunluğu (0.618034) OD kenarının uzunluğuna (0.78615) bölünürse sonuç OD kenarının uzunluğuna (0.78615) eşit çıkmaktadır. Trigonometrik ilişkiler açısından bu şu anlama gelmektedir: 38″10′ un tanjantı (karşı kenar ÷ komşu kenar), 38″10′ un cosinüsüne (komşu kenar ÷ hipotenüs) eşittir. Tersi, 51″50′ nin kotanjantı, 51″50′ nin sinüsüne eşittir.

İkinci ve belki en önemli husus: OD kenar uzunluğu (0.78615) 4 ile çarpıldığında 3.1446 yı verir ki bu, hemen hemen Pi‘ye (3.1416) eşittir. Bu buluş, 38″10′ açıya sahip bir dik üçgenin Pi oranı ile Altın Oran fenomeninin çok özel ve ilginç bir kesişimini kapsadığını ortaya koymaktadır.

Kadim Mısır Krallığı döneminin rahipleri bu üçgenin özelliklerinden haberdar mıydılar? Bu diagram Büyük Piramit‘in dış hatlarını göstermektedir. Bilinçli olarak ya da değil, bu piramit 38″10′ lık bir üçgeni ihtiva edecek biçimde inşa edilmiştir. Yüzeyinin eğimi, çok kesin bir şekilde yerle 51″50′ lık açı yapmaktadır. Bu piramit kesitini bir önceki ile kıyaslarsak, BC uzunluğunun yarıçapın 0.618034′ü olduğunu, AB uzunluğunun 0.78615 olduğunu ve AC uzunluğunun 1 yani yarıçap olduğunu görebiliriz.

Keops Piramidi‘nin gerçek ölçüleri şöyledir (feet ölçüsünden metreye çevrilmiştir): AB=146.6088m BC=115.1839m AC=186.3852m).

Bu noktadan itibaren işler biraz karmaşık ama çok çok ilginç bir hale gelmektedir.

Görüleceği gibi, BC uzunluğu, piramitin kenar uzunluğunun yarısıdır. Bu nedenle piramitin çevresinin uzunluğu BC x 8 dir. Yani piramitin relatif çevresi 0.618034 x 8 = 4.9443 dür. Yine piramitin relatif yüksekliği 0.78615 in bir çemberin yarıçapı olduğu farzedilirse bu çemberin uzunluğu (çevresi) yine 4.9443 olacaktır.

Bu beklenmedik uyum şu şekilde gerçekleşmektedir:

1)38″10′lık üçgene gore 0.618034 ÷ 0.78615 = 0.78615 dir (yukarıda bahsedilmişti). Demek ki, 8 x 0.618034 olarak belirlenen piramit çevresi 8 x 0.78618 x 0.78615 şeklinde de gösterilebilir.

2)Yine yukarıda, 4 x 0.78615 in Pi ( ) ye çok yakın bir değer verdiğini söylemiştik. Demek ki 2 nin de 8 x 0.78615 e çok yakın bir değer olduğu görülür. Böylelikle, yarıçapı 0.78615 olan bir dairenin çevresi şu şekilde ifade edilebilir: C=2 r= (8 x 0.78615) x 0.78615

Bundan şu sonuç çıkmaktadır: Büyük Piramit, yatay bir düzlem üzerinden ölçüm yapıldığında sahip olduğu kare şeklindeki çevre uzunluğunun aynına, düşey bir düzlem üzerinde yapılan ölçümde de bu defa daire şeklinde olmak üzere sahiptir.

Birkaç ilginç bilgi olmak kaydıyla şu gerçeklere de kısaca bir göz atalım: Keops Piramidi’nin gerçek taban kenar uzunluğunun (230.3465m) 8 katı ya da çevre uzunluğunun iki katı, boylamlar arasındaki 1 dakikalık açının ekvatordaki uzunluğunu vermektedir. Piramitin kenar uzunluğunun, ekvatordaki 1 dakikalık mesafenin 1/8 ine eşit olması ve piramit yüksekliğinin 2 nin 1/8 ine eşit olması korelasyonunu irdelememiz, örneklemeyi evrensel boyutlara taşıdığımızda, dünya ile evrenin Pi ve Altın Oran sabitlerinin ilişkilerini algılamada küçük bir girişim, samimi bir başlangıç sayılabilir.

Şunu akılda tutmak gerekir ki; piramitin kenar uzunluğunun 230.3465m olması tamamen tesadüf de olabilir. Fakat karşılıklı ilişkiler yenilerini doğuruyor ve bunlara yenileri ekleniyorsa, bu korelasyonların kasti düzenlenmiş olduğu ihtimali de ciddi olarak dikkate alınmalıdır.

Add comment Aralık 25th, 2006

KökLü SayıLar

Kaynak : www.mydoom.org

İrrasyonel sayılar rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan reel sayılardır. Kesir olarak ifade edilemeyen bu sayılara $π$ , $e$ ve $\sqrt 2$ örnek verilebilir. Q’ veya I ile gösterilir.

Bu sayılar belli bir düzeni olmaksızın sonsuza kadar devam eden ondalık sayılar (örneğin pi sayısı) veya rasyonel karşılığı olmayan kökler olabilir.

Örnekler: ³√7, √2, ⁵√(9/8)…

³√64 veya √(4/9) irrasyonel sayılar değildir çünkü rasyonel karşılıkları vardır:

³√64=4

√(4/9)=2/3

Matematik ile ilgili bu madde bir taslaktır. İçeriğini geliştirerek Vikipedi’ye katkıda bulunabilirsiniz.

6 comments Aralık 25th, 2006

Rasyonel SayıLar

Kaynak : www.mydoom.org

Rasyonel sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Rasyonel sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir.

Tanımda b’nin sıfır olmama şartı $\frac{a}{0}$ ifadesinin tanımsız olacağından dolayıdır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Rasyonel sayıların kümesi Q ile veya $\mathbb{Q}$ ile gösterilir. $\mathbb{Q}$ kümesi şöyle tanımlanır:

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

Bütün Tam sayılar rasyonel sayıdır. Çünkü $-3=\frac{-3}{1}$ veya $0=\frac{0}{1}$ veya $43=\frac{43}{1}$ şeklinde yani Rasyonel Sayı tanımına uygun şekilde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ , tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$ ‘yi kapsar.

76 comments Aralık 25th, 2006

Matematik Temel KavramLar

Kaynak : www.mydoom.org

her sayı bir rakam olmayabilir fakat her rakam bir sayıdır

hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur

çarpımları sabit olan iki doğal sayı; birbirine en uzak seçildiğinde toplamları en büyük değerini alır, birbirine en yakın seçildiğinde toplamları en küçük değerini alır.

toplamları sabit olan iki doğal sayı birbirine en uzak seçildiğinde çarpımları en küçük değeirni alırken birbirine en yakın seçildiğinde çarpımları en büyük değerini alır.

iki tek sayının toplamı ve farkı çift sayı, çarpımı tek sayıdır

iki çift sayının toplamı farkı ve çarpımı çift sayıdır.

tek sayı ile çift sayının toplamı ve farkı tek sayı, çarpımı çift sayıdır.

çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır

tek sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir tek sayıdır

Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

negatif sayılarda çift kuvvetler pozitif, tek kuvvetler negatiftir.

aynı işaretli iki sayının çarpım veya bölümleri pozitiftir

zıt işaretli iki sayının çarpım veya bölümü negatiftir

ardışık sayıların sonlu toplamları [değiştir]

1+2+3+4…+n= n.(n+1)/2

2+4+6+…+(2n)=n.(n+1)

1+3+5+..+(2n-1)=n²

0!=1

en küçük asal sayı 2 dir. bundan başka çift asal sayı yoktur.

1 den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. bu sayıların aralarında asal olmaları için kendilerinin asal olma zorunluluğu yoktur.

Add comment Aralık 25th, 2006